1.2 函数极限
1 极 限 · 共 25 题
第1题证明题
1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$ ．
西北工大 2005
第2题证明题
2．证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{|x|}\right)$ 存在，并求值．
中国科学院 2011
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
西南大学 2000南京理工大学 2001天津工业大学 2005浙江大学 2008山东师范大学 2011山东科技大学 2011燕山大学 2011南京航空航天大学 2012
+1
第4题计算题
4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．
河南大学 2000陕西师范大学 2000湖北大学 2003深圳大学 2005浙江师范大学 2007西安电子科技大学 2008曲阜师大 2010东北师范大学 2011
+5
第5题计算题
5．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为常数。（陕西师大 $\displaystyle 2000 ; \alpha=1$ ：中科院 1997，青岛大学 2010，西南大学
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n+2 \sqrt{n}}}-\sqrt{n})$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$ 。重庆大学2003，岂东科技2008，宁波大学2004，西安交大 1997）
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}}-\sqrt[5]{x^{5}-x^{4}}\right)$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{2}+x\right) \cdots\left(a_{n}+x\right)}-x\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left[\left(a_{1} \sqrt{n+1}-a_{2} \sqrt{n+2}\right)+\left(a_{3} \sqrt{n+3}-a_{4} \sqrt{n+4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1} \sqrt{n+2 k-1}-a_{2 k} \sqrt{n+2 k}\right)\right]$,
其中 $\displaystyle \left[\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k}\right)\right]=0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为常数。（陕西师大 $\displaystyle 2000 ; \alpha=1$ ：中科院 1997，青岛大学 2010，西南大学
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n+2 \sqrt{n}}}-\sqrt{n})$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$ 。重庆大学2003，岂东科技2008，宁波大学2004，西安交大 1997）
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}}-\sqrt[5]{x^{5}-x^{4}}\right)$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{2}+x\right) \cdots\left(a_{n}+x\right)}-x\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left[\left(a_{1} \sqrt{n+1}-a_{2} \sqrt{n+2}\right)+\left(a_{3} \sqrt{n+3}-a_{4} \sqrt{n+4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1} \sqrt{n+2 k-1}-a_{2 k} \sqrt{n+2 k}\right)\right]$,
其中 $\displaystyle \left[\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k}\right)\right]=0$ ．
南京师范大学 2000浙江大学 2001中南大学 2003福建师范大学 2004中南大学 2005浙江师范大学 2008四川大学 2009太原理工大学 2009
+16
第6题求解题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle a$ 的一个邻域内有定义，$\displaystyle f(a) \neq 0, f(x)$ 在点 $\displaystyle a$ 处可导，$\displaystyle n$ 为自然数．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}, f(a)>0$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}, f(a)>0$.
（3）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}, f(a)>0$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}, f(a)>0$.
（3）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ ．
北京大学 1996北京工业大学 2000清华大学 2000北京大学 2001北京理工学 2001华中师范大学 2002南开大学 2004西北大学 2007
+3
第7题计算题
7．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x \sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{\ln (x+1)}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x \sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{\ln (x+1)}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)$ ．
中国科学技术大学 1983北京科技大学 1996南京大学 1996复旦大学 1998大连海事大学 1999华东师范大学 2000华东理工大学 2000同济大学 2000
+58
第8题计算题
8．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-\mathrm{e}}{t}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sin x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sqrt{1+\sin x}-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^{2}}{x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}^{x}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{x^{2}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-\mathrm{e}}{t}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sin x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sqrt{1+\sin x}-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^{2}}{x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}^{x}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{x^{2}}$ ．
山东大学 2000浙江大学 2000南京师范大学 2002南京农业大学 2004武汉理工大学 2004湖南师范大学 2004郑州大学 2005南京农业大学 2006
+17
第9题计算题
9．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
华中师范大学 2001武汉大学 2003河北工业大学 2003扬州大学 2004天津大学 2005东北师范大学 2006北京师范大学 2006苏州大学 2006
+11
第10题计算题
10．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}{x^{2} \sin x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{\ln ^{3}(1+x)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x-\frac{x^{3}}{3}}{x^{2}(x-\sin x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{2}\left(1-\cos ^{2} x\right) \arctan x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}{x^{2} \sin x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{\ln ^{3}(1+x)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x-\frac{x^{3}}{3}}{x^{2}(x-\sin x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{2}\left(1-\cos ^{2} x\right) \arctan x}$ ．
天津大学 2002宁波大学 2009浙江大学 2009浙江师范大学 2011杭州师大 2012北京大学 2015浙江大学 2015
第11题计算题
11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{5} x}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{3}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \int_{0}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t}{1-\cos x^{4}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(\arcsin t-t) \mathrm{d} t}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{4}\right) \mathrm{d} t}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{5} x}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{3}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \int_{0}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t}{1-\cos x^{4}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(\arcsin t-t) \mathrm{d} t}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{4}\right) \mathrm{d} t}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}$ ．
南京理工大学 2000青岛大学 2002首都师范大学 2003中国矿业大学 2004首都师范大学 2004天津大学 2005东北师范大学 2006新疆大学 2006
+19
第12题计算题
12．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
北京大学 1998郑州大学 2000东华大学 2002扬州大学 2003南京航空航天大学 2004华东师范大学 2005浙江师范大学 2005湖南师范大学 2005
+22
第13题计算题
13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
天津大学 2000华南理工大学 2001南京大学 2004东南大学 2005南京大学 2005南京大学 2006宁波大学 2006扬州大学 2009
+2
第14题计算题
14．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
四川大学 2012苏州大学 2013华侨大学 2014武汉大学 2015
第15题计算题
15．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
中国科学院 1985天津大学 2001华南理工大学 2004华东师范大学 2007天津工业大学 2007首都师范大学 2007徐州师范大学 2009曲阜师大 2009
+15
第16题计算题
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
浙江大学 2007湘潭大学 2008浙江大学 2010湖南农业大学 2010广西师范大学 2011扬州大学 2011沈阳工业大学 2012浙江理工 2012
+2
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．
华东理工大学 2001东北师范大学 2004武汉大学 2004湖北大学 2004湖南大学 2004华南师大 2005太原科技大学 2005西安理工 2005
+20
第18题计算题
18．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} \cdot$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} \cdot$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}$ ．
南京师范大学 2000北京大学 2002东南大学 2004福州大学 2005东华大学 2010海南大学 2010山东师范大学 2011中国科学院 2012
+6
第19题计算题
19．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}} \cdot$
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}} \cdot$
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}$ ．
西安交大 2003浙江师范大学 2006福州大学 2007苏州科技大学 2009苏州科技大学 2010中国科学技术大学 2011中国科学院 2011四川大学 2011
+8
第20题计算题
20．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．
（1）设 $\displaystyle a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．
华东师范大学 2009安徽师大 2014
第21题证明题
21．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
陕西师范大学 2001上海交大 2003云南大学 2004四川大学 2004天津大学 2004广西大学 2004辽宁大学 2004重庆大学 2004
+13
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上递增，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ ．证明：对任 意 的 $\displaystyle \alpha>0$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
中国科学技术大学 2012
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上的函数，在每一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+T)-f(x))=A, T>0$ ，求证：$\displaystyle A=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，并且 $\displaystyle \forall x>0, f(x+1) \neq f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(f(n)-f(n-1))=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x)$ 在每一个有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界，并满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=A$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=A$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上的函数，在每一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+T)-f(x))=A, T>0$ ，求证：$\displaystyle A=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，并且 $\displaystyle \forall x>0, f(x+1) \neq f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(f(n)-f(n-1))=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x)$ 在每一个有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界，并满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=A$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=A$ 。
广西师范大学 2002苏州大学 2002江苏大学 2004广西师范大学 2005南开大学 2007河北大学 2008湖北大学 2008西安交大 2008
+3
第24题求解题
24．求极限中的常数．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．
华中师范大学 1999陕西师大．郑州大学 2000首都师范大学 2001东北师范大学 2002南京师范大学 2002首都师范大学 2002陕西师大．郑州大学 2003上海大学 2005
+10
第25题证明题
25．证明：（1）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
三峡大学 2011桂林电子科技 2012